c-matrix

При старте работы над проектом просим вас постараться хронометрировать время работы над проектом. По завершении работы над проектом просим вас ответить на два вопроса в этом опросе

Реализация библиотеки matrix.h.

Contents

1. Chapter I
   1.1. Introduction
2. Chapter II
   2.1. Information
3. Chapter III
   3.1. Part 1

Chapter I

Планета Земля, США, штат Техас, округ Даллас, Мэтью стрит 1703, 13 сентября 2000 год.

-- Все же очень чудный загородный дом у нашего CEO, есть все для воплощения идей! Огромный бассейн на лужайке и веранда с видом на него ещё больше дополняют образ увлеченного и умного человека.

- Да, соглашусь, очень рад, что нас сюда пригласили, очень энергичное место!

-- Безусловно! И так, вот уже несколько дней в нем главная техническая команда id Software обсуждает новую технологию, которую бы мы хотели представить в нашей разрабатываемой игре Doom 3. Что больше всего создает ощущение реальности на фотографии? Естественно игра света и теней, которые сейчас рассчитываются слишком долго, сильно нагружая центральный процессор. Джон известен своими технологическими и алгоритмическими идеями и трюками, которые позволяли достичь сумасшедших прорывов в быстродействии и оптимизации кода.
О чем это я... Нашим главным техническим специалистом и основателем компании Джоном Кармаком была представлена теоретическая наработка, которая бы позволяла накладывать тени на сцене после прохождения всего графического конвейера, используя буфер глубины и трафаретный буфер.

- Ох как, у меня мурашки по коже, расскажите же поподробнее!

-- Мы вас пригласили на эту вечеринку не случайно, вся команда трудится над новым методом построения теней в сцене, и конкретно ваш отдел был назначен Джоном для реализации очень быстрой и оптимизированной библиотеки всевозможных матричных преобразований, на которых и будет строиться вся математическая логика алгоритма. Вектора и матрицы, транспонирование и SRT преобразование, и многие другие математические объекты и операции, которые используют в компьютерной графике. Для корректного и обдуманного перехода к новому методу, необходимы значительные и внушительные изменения в производительности, ответственные за которые будете лично вы!

- Я и моя команда очень рады помочь вам, и готовы приступить к работе уже завтра!

-- Отлично! Кто знает, может быть когда-нибудь для света и теней достаточно будет просто пускать лучи... а пока мы ограничены технологиями своего времени и необходимо выкручиваться, вперед! И да, не смейте пропускать дедлайны, он этого не любит

Introduction

В данном проекте Вам предстоит реализовать свою библиотеку для обработки числовых матриц на языке программирования Си. Матрицы являются одной из базовых структур данных в программировании, например, они применяются для представления табличных значений, для вычислительных задач и нейронных сетей. В рамках этого проекта предполагается более детальное знакомство с матрицами и закрепление структурного подхода.

Chapter II

Information

Историческая справка

Первые упоминания о матрицах (или как их тогда называли - "волшебных квадратах") были обнаружены на территории древнего Китая.
Свою известность они получили в середине XVIII века благодаря труду знаменитого математика Габриэля Крамера, опубликовавшего свой труд - "Введение в анализ алгебраических кривых", в котором описывался принципиально новый алгоритм решения систем линейных уравнений.
Вскоре после него были опубликованы работы Карла Фридриха Гаусса о "классическом" методе решения линейных уравнений, теорема Гамильтона-Кели, работы Карла Вейерштрасса, Георга Фробениуса и других выдающихся ученых.
И только в 1850 году Джеймс Джозеф Сильвестр в своей работе вводит термин "Матрица".

Матрица

Матрица - это набор чисел, расположенных в фиксированном количестве строк и столбцов.

Матрица A - прямоугольная таблица чисел, расположенных в m строках и n столбцах

    1 2 3
A = 4 5 6
    7 8 9

     1  2  3  4
В =  5  6  7  8
     9 10 11 12

Получить нужный элемент можно при помощи индексов, так A[1,1] = 1, где первый индекс - номер строки, второй - номер столбца.

Матрица А будет иметь элементы с следующими индексами:

    (1,1) (1,2) (1,3)
A = (2,1) (2,2) (2,3)
    (3,1) (3,2) (3,3)

Порядок матрицы — это число ее строк или столбцов.
Главная диагональ квадратной матрицы — это диагональ, идущая из левого верхнего в правый нижний угол.
Прямоугольная матрица (В) — это матрица, у которой число строк не равно числу столбцов.
Квадратная матрица (А) — это матрица у которой число строк равно числу столбцов.

Матрица-столбец — это матрица, у которой всего один столбец:

    (1,1)
A = (2,1)
    (n,1)

Матрица-строка — это матрица, у которой всего одна строка:

A = (1,1) (1,2) (1,m)

Tip: матрицу-столбец и матрицу-строку ещё часто называют векторами.

Диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю.
Единичная матрица — это диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице:

    1 0 0
A = 0 1 0
    0 0 1

Треугольная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю.

    1 2 3
A = 0 4 5
    0 0 6

Структура матрицы на языке C:

typedef struct matrix_struct {
    double** matrix;
    int rows;
    int columns;
} matrix_t;

Операции над матрицами

Все операции (кроме сравнения матриц) должны возвращать результирующий код:

• 0 - OK
• 1 - Ошибка, некорректная матрица
• 2 - Ошибка вычисления (несовпадающие размеры матриц; матрица, для которой нельзя провести вычисления и т.д.)

Создание матриц (create_matrix)

matrix_t*   c_create_matrix(const int rows, const int columns);

Очистка матриц (remove_matrix)

void s21_remove_matrix(matrix_t *A);

Сравнение матриц (eq_matrix)

#define SUCCESS 1
#define FAILURE 0

int s21_eq_matrix(matrix_t *A, matrix_t *B);

Две матрицы A, B совпадают |A = B|, если совпадают их размеры и соответствующие элементы равны, то есть при всех i, j A(i,j) = B(i,j).

Сравнение должно происходить вплоть до 7 знака после запятой включительно.

Сложение (sum_matrix) и вычитание матриц (sub_matrix)

matrix_t*   c_sum_matrix(matrix_t *A, matrix_t *B);
matrix_t*   c_sub_matrix(matrix_t *A, matrix_t *B);

Суммой двух матриц A = m × n и B = m × n одинаковых размеров называется матрица C = m × n = A + B тех же размеров, элементы которой определяются равенствами C(i,j) = A(i,j) + B(i,j).

Разностью двух матриц A = m × n и B = m × n одинаковых размеров называется матрица C = m × n = A - B тех же размеров, элементы которой определяются равенствами C(i,j) = A(i,j) - B(i,j).

            1 2 3   1 0 0   2 2 3
С = A + B = 0 4 5 + 2 0 0 = 2 4 5
            0 0 6   3 4 1   3 4 7

Умножение матрицы на число (mult_number). Умножение двух матриц (mult_matrix)

matrix_t*   c_mult_number(matrix_t *A, double number);
matrix_t*   c_mult_matrix(matrix_t *A, matrix_t *B);

Произведением матрицы A = m × n на число λ называется матрица B = m × n = λ × A, элементы которой определяются равенствами B = λ × A(i,j).

                1 2 3   2 4 6   
B = 2 × A = 2 × 0 4 2 = 0 8 4 
                2 3 4   4 6 8   

Произведением матрицы A = m × k на матрицу B = k × n называется матрица C = m × n = A × B размера m × n, элементы которой определяются равенством C(i,j) = A(i,1) × B(1,j) + A(i,2) × B(2,j) + … + A(i,k) × B(k,j).

            1 4    1 -1  1    9 11 17   
C = A × B = 2 5  × 2  3  4 = 12 13 22 
            3 6              15 15 27

Компоненты матрицы С вычисляются следующим образом:

C(1,1) = A(1,1) × B(1,1) + A(1,2) × B(2,1) = 1 × 1 + 4 × 2 = 1 + 8 = 9
C(1,2) = A(1,1) × B(1,2) + A(1,2) × B(2,2) = 1 × (-1) + 4 × 3 = (-1) + 12 = 11
C(1,3) = A(1,1) × B(1,3) + A(1,2) × B(2,3) = 1 × 1 + 4 × 4 = 1 + 16 = 17
C(2,1) = A(2,1) × B(1,1) + A(2,2) × B(2,1) = 2 × 1 + 5 × 2 = 2 + 10 = 12
C(2,2) = A(2,1) × B(1,2) + A(2,2) × B(2,2) = 2 × (-1) + 5 × 3 = (-2) + 15 = 13
C(2,3) = A(2,1) × B(1,3) + A(2,2) × B(2,3) = 2 × 1 + 5 × 4 = 2 + 20 = 22
C(3,1) = A(3,1) × B(1,1) + A(3,2) × B(2,1) = 3 × 1 + 6 × 2 = 3 + 12 = 15
C(3,2) = A(3,1) × B(1,2) + A(3,2) × B(2,2) = 3 × (-1) + 6 × 3 = (-3) + 18 = 15
C(3,3) = A(3,1) × B(1,3) + A(3,2) × B(2,3) = 3 × 1 + 6 × 4 = 3 + 24 = 27			

Транспонирование матрицы (transpose)

matrix_t*   c_transpose(matrix_t *A);

Транспонирование матрицы А заключается в замене строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров.

          1 4   1 2 3
A = A^T = 2 5 = 4 5 6
          3 6

Минор матрицы и матрица алгебраических дополнений (calc_complements)

int s21_calc_complements(matrix_t *A, matrix_t *result);

Минором M(i,j) называется определитель (n-1)-го порядка, полученный вычёркиванием из матрицы A i-й строки и j-го столбца.

Для матрицы:

    1 2 3
A = 0 4 2
    5 2 1

Минором первого элемента первой строки будет:

M(1,1) = 4 2
         2 1

|M| = 4 - 4 = 0

Матрица миноров будет иметь вид:

     0 -10 -20
M = -4 -14  -8
    -8   2   4

Алгебраическим дополнением элемента матрицы является значение минора умноженное на -1^(i+j).

Матрица алгебраических дополнений будет иметь вид:

      0  10 -20
M. =  4 -14   8
     -8  -2   4

Определитель матрицы (determinant)

int s21_determinant(matrix_t *A, double *result);

Определитель (детерминант) - это число, которое ставят в соответствие каждой квадратной матрице и вычисляют из элементов по специальным формулам.
Tip: определитель может быть вычислен только для квадратной матрицы.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

Поиск определителя для матрицы A по первой строке:

    1 2 3
A = 4 5 6
    7 8 9
	
|A| = 1 × 5 6 - 2 × 4 6 + 3 × 4 5 = 1 × (5 × 9 - 8 × 6) - 2 × (4 × 9 - 6 × 7) + 3 × (4 × 8 - 7 × 5)
          8 9       7 9       7 8
|A| = 1 × (45 - 48) - 2 × (36 - 42) + 3 × (32 - 35) = -3 + 12 + (-9) = 0
|A| = 0

Обратная матрица (inverse_matrix)

int s21_inverse_matrix(matrix_t *A, matrix_t *result);

Матрицу A в степени -1 называют обратной к квадратной матрице А, если произведение этих матриц равняется единичной матрице.

Обратной матрицы не существует, если определитель равен 0.

Обратная матрица находится по формуле $A^{-1}=\frac{1} {|A|} × A_*^T$

Дана матрица:

     2  5  7
A =  6  3  4
     5 -2 -3

Поиск определителя:

|A| = -1

Определитель |A| != 0 -> обратная матрица существует.

Построение матрицы миноров:

    -1 -38 -27
М = -1 -41 -29
    -1 -34 -24

Матрица алгебраических дополнений будет равна:

     -1  38 -27
М. =  1 -41  29
     -1  34 -24

Транспонированная матрица алгебраических дополнений будет равна:

        -1   1  -1
М^T. =  38 -41  34
       -27  29 -24

Chapter III

Part 1. Реализация функции библиотеки matrix.h

Реализовать основные действия с матрицами (частично описанные выше): create_matrix (создание), remove_matrix (очистка и уничтожение), eq_matrix (сравнение), sum_matrix (сложение), sub_matrix (вычитание), mult_matrix (умножение), mult_number (умножение на число), transpose (транспонирование), determinant (вычисление определителя), calc_complements (вычисление матрицы алгребраический дополнений), inverse_matrix (поиск обратной матрицы).